lunes, 26 de enero de 2009

Bisectriz, Baricentro, Construcción con Regla y Compás

Bisectriz
La bisectriz de un ángulo es la recta que divide el ángulo en dos partes iguales.
Propiedad: los puntos de la bisectriz son equidistantes a los dos lados (rectas) del ángulo.
Recíprocamente, dos rectas, al cruzarse, determinan cuatro ángulos cóncavos. Cada uno de ellos define una bisectriz. Estas bisectrices resultan ser el lugar geométrico de los puntos equidistantes de las dos rectas. Este resultado se establece fácilmente observando que cada bisectriz es el eje de simetría de su ángulo: la simetría axial respecto de una bisectriz deja el ángulo invariante.

En la figura, la bisectriz interior al ángulo xOy (en amarillo) es (zz'), y la exterior es (ww'). Se cortan formando un ángulo recto. En efecto, si llamemos a la medida de xOz, y b la de yOw, observamos que 2a + 2b es la medida del ángulo xOx' , que es plano. Dividimos por 2: zOw mide a + b = 90º.
Baricentro
Sean A1,... An n puntos, y m1,... mn n, números (m como masa ). Entonces el baricentro de los ( Ai, mi ) es el punto G definido como sigue:
Esta definición depende del punto O, que puede ser cualquiera. Si se toma el origen del plano o del espacio, se obtiene las coordenadas del baricentro, como promedio ponderado por los mi, de las coordenadas de los puntos Ai:
La definición anterior no equivale a la fórmula siguiente, mucho menos práctica para el cálculo vectorial, pues prescinde de las fracciones (se obtiene tomando O = G):

Regla y compás
La construcción con regla y compás[1] es el trazado de puntos, segmentos de recta y ángulos usando exclusivamente una regla y compás idealizados. La geometría clásica griega impuso esa norma para las construcciones, aunque los griegos también investigaron las que pueden obtenerse con instrumentos menos básicos.
A la regla se le supone longitud infinita, carencia de marcas que permitan medir o trasladar distancias, y un solo borde. Del compás se supone que se cierra súbitamente cuando se separa del papel, de manera que no puede utilizarse directamente para trasladar distancias, porque "olvida" la separación de sus puntas en cuanto termina de trazar la circunferencia. Esta restricción del compás parece muy incómoda para los usuarios de compases reales, pero carece por otro lado de importancia matemática, porque el traslado de distancias se puede realizar de forma indirecta.
Cualquier punto que sea construible usando regla y compás puede conseguirse también usando únicamente compás; lo que evidentemente no se puede hacer es trazar el segmento de recta entre dos puntos previamente construidos. Como se verá, algunos problemas de geometría plana clásica imponen la restricción de "sólo compás".

Video Espacio Muestral

Exposición Espacio Muestral

Definición de Probabilidad

Probabilidad de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a medida que el número de veces que se realiza el experimento crece.
Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en idénticas condiciones el cociente entre el número de veces que aparece un resultado (suceso) y el número total de veces que se realiza el experimento tiende a un número fijo. Esta propiedad es conocida como ley de los grandes números, establecida por Jakob Bernouilli. Tiene el inconveniente de variar la sucesión de las frecuencias relativas de unas series de realizaciones a otras, si bien el valor al que se aproximan a medida que el número de realizaciones aumenta se mantiene estable.
La frecuencia relativa del suceso A:




Esta definición presenta el inconveniente de tener que realizar el experimento un gran número de veces y además siempre obtendremos un valor aproximado de la probabilidad.


Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento.

Ejemplo: Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc., sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Es una experiencia determinista. Si echamos un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia aleatoria.

Suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar.

La vida cotidiana está plagada de sucesos aleatorios. Muchos de ellos, de tipo sociológico (viajes, accidentes, número de personas que acudirán a un gran almacén o que se matricularán en una carrera...) aunque son suma de muchas decisiones individuales, pueden ser estudiados, muy ventajosamente, como aleatorios.

A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio muestral.

Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos por E.

Ejemplos:
En un dado, E={1,2,3,4,5,6}
En una moneda, E={C,+}

El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos.
Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres días consecutivos se obtiene el siguiente espacio muestral:
E={(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)}

Probabilidad condicionada.
En el cálculo de las probabilidades de algunos sucesos, el valor de dicha probabilidad vará en función del conocimiento de determinadas informaciones relativas a estos sucesos.
Veamos un ejemplo.


Si disponemos de una urna que contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4, extraemos una bola y seguidamente la volvemos a introducir para realizar una segunda extracción, la probabilidad de extraer, por ejemplo, la bola número 3 en la segunda extracción es la misma que en la primera.Si realizamos el mismo proceso sin reemplazar la bola extraída la probabilidad de extraer, por ejemplo, la bola número 3 en la segunda extracción dependerá de la bola extraída en primer lugar.

Ejemplo:
Consideremos el experimento de "lanzar un dado al aire". Calculemos, por ejemplo, la probabilidad de obtener un 3 sabiendo que ha salido un número impar:
Definimos los sucesos A="sacar 3" y B= {1,3,5}; entonces, P(A/B)=1/3 puesto que si sabemos que ha salido un número impar, los casos posibles ahora son 3 y los casos favorables al suceso A sólo 1.


Probabilidad total.
Llamamos sistema completo de sucesos a una familia de sucesos A1, A2, ...,An que cumplen:
1. Son incompatibles dos a dos, Ai Aj = Ø
2. La unión de todos ellos es el suceso seguro,



Teorema de la probabilidad total
Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresión:




Espacio Muestral

Espacio muestral

Definición: En
estadística se llama espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio. Se suele representar por Ω.
Sus elementos se representan por letras minúsculas (w1,w2,...) y se denominan
eventos o sucesos elementales. Los subconjuntos de Ω se designan por medio de letras mayúsculas (A,B,C,D,...) y se denominan eventos o sucesos. Los sucesos representan los posibles resultados del experimento aleatorio.

Tipos de espacio muestral
Un espacio muestral Ω es discreto, cuando Ω es un conjunto discreto, es decir,
finito o numerable; y es continuo, cuando no es numerable.

Particiones: Es posible definir particiones sobre el espacio muestral. Formalmente hablando, una partición sobre Ω se define como un conjunto numerable:
tal que

0 \; \forall i=1..n " src="http://upload.wikimedia.org/math/8/3/6/836ef6937b2cbf21e1f47f994eb3afa6.png">

Ejemplos
Por ejemplo, en el caso del experimento aleatorio "lanzar un dado", el espacio muestral del experimento sería: Ω={1,2,3,4,5,6}. Por otro lado, si cambiamos ligeramente la experiencia pensando en el número resultante de la suma de 2 dados, entonces tenemos 2 espacios muestrales:
Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),...(6,6)} = {1,2,3,4,5,6}
x{1,2,3,4,5,6}
Ω'={2,3,4,...,12}
La elección del espacio muestral es un factor determinante para realizar el cálculo de la probabilidad de un suceso.

Video de Ortocentro

Exposicion de Ortocentro



En esta práctica construiremos el ortocentro de un triangulo. Éste es el punto de intersección de las alturas del triangulo. Para ello construimos un triángulo cualquiera, trazamos las tres alturas, es decir las rectas que van de un vértice perpendicularmente al lado opuesto. El ortocentro es el punto de intersección de dos cualesquiera de las tres altura.

Modo de Construcción:1. Se construye el triángulo ABC.2. Se construyen las alturas sobre cada lado. 3. El punto O intersección de las alturas es el Ortocentro.


Ortocentro


Se denomina ortocentro al punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo. Este no es un hecho trivial, pues tres rectas cualesquiera, tomadas a pares, podrían intersecarse en tres puntos diferentes, pero en el caso de las alturas de un triangulo dado, puede demostrarse que se intersecan en un solo punto, es decir, en el ortocentro.
El nombre deriva del término griego orto, que quiere decir recto, en referencia al ángulo formado entre las bases y las alturas.
El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si éste es
acutángulo, coincide con el vértice del ángulo recto si es rectángulo, y se halla fuera del triángulo si es obtusángulo.





miércoles, 21 de enero de 2009

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